对远期合约定价

2024-06-28 17:15 admin

在刚刚进入远期合约时，其价值为0。但在进入合约之后，远期合约价值可能为正也可能为负。对银行或其他金融机构来讲，每天计算这些合约的价值是非常重要的（这叫对合约按市场定价）。采用前面引入的符号，假设K是以前成交的合约的交割价格，合约的交割日期是在从今日起T年之后，r是期限为T年的无风险利率，变量F₀表示目前的远期价格，即假如在今天成交的话，合约的交割价格。我们还定义f为远期合约今天的价值。
清楚地理解变量F₀、K和f的含义是非常重要的。如果今天正好是合约的最初成交日，那么交割价格K等于远期价格F₀，而且合约的价值f是0。随着时间的推移，K保持不变（因为它已经被合约确定），但远期价格F₀将会变动，而且远期合约的价值f可以变成或正或负。
对于远期合约的多头方（投资资产和消费资产），合约的价值是

(5-4)

为了说明式（5-4）是正确的，我们采用类似于4.7节里关于远期利率合约价格的证明方式。我们用以下形式构造一个组合：（a）以远期价格K在时间T购买标的资产，和（b）以远期价格F₀在时间T卖出标的资产。组合中第1个合约在时间T的收益为S_T-K，第2个合约的收益为F₀-S_T，总收益为F₀-K。这个数值在今天是已知的。因此交易组合是无风险的，在今天的价值等于在时间收益的贴现值，即（F₀-K）e^-rT。因为F₀是今天进入远期合约时的远期价格，所以按交割价格F₀卖出资产的远期合约价值为0，由此可见，具有交割价格K的合约（多头）在今天的价值为（F₀-K）e^-rT。类似地，以执行价格K卖出资产的远期合约（空头）的价值为（K-F₀）e^-rT。

例5-4
一个无股息股票上的远期合约多头是在以前成交的。这一远期合约还有6个月到期。无风险利率（连续复利）为10%，股票价格为25美元，远期合约的交割价格为24美元。这时S₀=25，r=0.10，T=0.5和K=24。由式（5-1）得出6个月期的远期合约的价格F₀为

由式（5-4）可知远期合约的价值为

式（5-4）说明对于一个资产上的远期合约多头定价时，我们可以假定资产在远期合约到期时的价格等于远期价格F₀。为了说明这一点，注意在做出这个假设之后，远期合约在T时刻的收益为F₀-K，贴现值为（F₀-K）e^-rT，这与式（5-4）中的f一致。类似地，在对于远期合约空头进行定价时也可以假设远期价格在将来会实现。这与4.7节中的结果类似：对远期利率合约定价时，我们可以假设远期价格在将来会实现。
将式（5-4）与式（5-1）结合，我们可以得出在没有中间收入的资产上的远期合约多头价值为

(5-5)

类似地，将式（5-4）与式（5-2）结合，我们可以得出在提供贴现值为I的已知收入的投资资产上远期合约多头价值为

(5-6)

最后，将式（5-4）与式（5-3）并用，我们可以得出提供收益率为q的投资资产上的远期合约多头价值为

(5-7)

当期货价格变化时，期货合约的盈亏等于其价格变化乘以持有期货头寸的大小。因为期货合约为每日结算，所以收益几乎马上就可以兑现。式（5-4）表示当远期价格变化时，其盈亏等于远期价格变化的贴现值，并乘以其头寸的大小。